Коинтеграция и хеджирование в финансовом анализе. Хеджирование подразумевает покупку такого портфеля финансовых инструментов (например, акций), колебания цены которого повторяют динамику стоимости финансового обязательства инвестора.
Такой портфель называется хеджирующим или реплицирующим. Эффективность хеджирования будет тем выше, чем меньше отклонение стоимости реплицирующего портфеля от стоимости хеджируемого обязательства, измеряемое обычно среднеквадратическим отклонением или дисперсией.
Стандартный метод построения валютного портфеля при помощи коинтегрированного набора валютных курсов ориентирован на случай существования ровно одного набора. Коинтеграция подразумевает возможность с помощью линейной комбинации нестационарных процессов (динамики изменения стоимости активов хеджируемого и хеджирующего портфеля) получить стационарный многомерный процесс. Между тем, известно, что по самой природе валютного рынка таких наборов может быть несколько, поскольку определённая взаимосвязь в динамиках валютных курсов должна иметь место, чтобы обеспечить отсутствие арбитражных возможностей. Развитие метода хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов на случай нескольких коинтегрированных наборов валютных курсов может обеспечить более эффективное (в смысле минимизации дисперсии отклонения) хеджирование и использоваться участниками финансовых рынков (например, банками), для получения прибыли или снижения затрат.
При анализе механизмов хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов было установлено, что существуют коинтегрированные наборы валютных курсов, необходимые при данном методе хеджирования, эффективность метода хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных пар не уступают альтернативным методам коррекции ошибки, основанным на частом переформировании портфеля.
Методы оценки коэффициентов коинтегрированных соотношений и проверки статистических гипотез развивались с конца 1980-х. Исторически первым методом была верификация модели коррекции ошибки, предложенной Энгелем и Грэнджером. Основным недостатком этого метода было то, что он позволяет оценивать коинтеграцию только между двумя временными рядами. В начале 1980-х Йохансеном был предложен метод, позволяющий оценивать коинтеграционные соотношения между произвольным количеством временных рядов, использующий оценки максимума правдоподобия. В настоящее время именно этот метод является наиболее популярным у исследователей финансовых временных рядов.
Существует 2 основных метода использования коинтеграции участниками рынка:
1) Торговля парами — предназначен для заработка на разнице курсов финансовых инструментов. Он использует тот факт, что цены двух коинтегрированных финансовых инструментов попеременно то сближаются, то расходятся. В такой ситуации заработок на разнице курсов возможен, если, дождавшись достаточно большого расхождения цен, купить более дешёвый актив (лонг) и продать более дорогой (шорт), а затем при сближении цен зафиксировать прибыль, закрыв эти позиции. Применение этого метода возможно и в случае, если коинтегированы более двух активов.
2) Использование коинтеграционного соотношения для построения хеджирующего портфеля. Хеджировать таким образом можно обязательство по любому финансовому инструменту, входящему в коинтеграционное соотношение. Эта возможность существует в силу того, что отклонение цены любого из таких финансовых инструментов от цены портфеля, составленного из оставшейся части коинтеграционного соотношения, представляет собой стационарный ряд. Т.е. динамика портфеля копирует динамику хеджируемого инструмента с точностью до указанного стационарного ряда. При этом хеджирование будет тем точнее, чем меньше дисперсия этого ряда.
Использование коинтеграционных соотношений не является единственным методом построения хеджирующих портфелей. Основной альтернативой этому методу выступает метод отслеживания ошибки (TE – Tracking Error). Этот метод заключается в периодическом переформировании хеджирующего портфеля в портфель, доходность которого в прошлом периоде (длительность периода выбирается на усмотрение хеджера) была наиболее близка к доходности хеджируемого финансового инструмента. Также могут учитываться разнообразные ограничения, например, наличие в портфеле требуемой доли определённых финансовых инструментов. Основным отличием этого метода от использования коинтеграционных соотношений является копирование доходности хеджируемого обязательства, а не его стоимости. Сравнение этих двух методов хеджирования показало, что оба они имеют практическую ценность, оба обеспечивают примерно одинаковую точность хеджирования и ни один из них не имеет решающего преимущества перед другим.
Большинство исследователей, занимавшихся поиском коинтеграционных соотношений на валютных рынках, сосредотачивали своё внимание на анализе так называемых треугольных наборов валютных курсов. Под треугольными понимаются такие наборы, которые состоят из курсов всевозможных пар валют, выбранных из каких-то трёх конкретных валют. Каждый треугольный набор состоит ровно из трёх валютных курсов. Повышенное внимание исследователей именно к таким наборам объясняется тем, что для сохранения на рынке достаточной степени безарбитражности (которая реально наблюдается), валютные курсы из таких наборов не могут меняться совершенно независимым образом, поэтому искать коинтеграционные соотношения в первую очередь естественно именно среди треугольных наборов валютных пар. Имеющиеся исследования ряда зарубежных авторов подтверждают эти представления: треугольные валютные пары действительно коинтегированы. Следует отметить, что в исследованиях, посвящённых поиску коинтеграционных соотношений, обычно используются высокочастотные данные (минутные и более частотные).
Развитие методов хеджирования при помощи коинтеграции. Метод формирования хеджирующего портфеля как наилучшей, в смысле дисперсии отклонения, комбинации нескольких коинтеграционных соотношений и метод получения модельной информации из посекундных статистических данных будут способствовать повышению эффективности существующих методов хеджирования на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных пар.
Метод построения хеджирующих портфелей использует линейные комбинации коинтеграционных соотношений, полученные как решение оптимизационной задачи. Математически эта задача в случае двух коинтеграционных соотношений может быть представлена следующим образом. Пусть имеются 2 коинтеграционных соотношения:
Х0t + A1X1t + … + AnXnt = Vt (1)
Х0t + B1Y1t + … + BmYmt = Wt (2)
Х0t — хеджируемый финансовый инструмент (представляет собой нестационарный процесс),
X1t,…,Xnt и Y1t,…,Ynt — вспомогательные финансовые инструменты (представляют собой нестационарные процессы),
A1,…, An и B1,…, Bm — коэффициенты коинтеграционных соотношений,
Vt и Wt — стационарные ряды (стационарный процесс).
Взяв коинтеграционное соотношение (1) с коэффициентом α и коинтеграционное соотношение (2) с коэффициентом β, можно, сложив их и разделив на сумму коэффициентов α и β, получить другое соотношение, в котором левая часть будет представлять собой разность хеджируемого финансового инструмента Х0t и некоего портфеля, а правая — стационарный ряд:
Х0t + α/(α+β)*(A1X1t + … + AnXnt) + β/(α+β)*(B1Y1t + … + BmYmt) = α/(α+β)*Vt + β/(α+β)*Wt (3)
Выражение (3) говорит о том, что цена финансового инструмента Х0t отличается от цены портфеля –(α/(α+β)*(A1X1t + … + AnXnt) + β/(α+β)*(B1Y1t + … + BmYmt)) на стационарную компоненту α/(α+β)*Vt + β/(α+β)*Wt (правая часть равенства). Поэтому для наиболее точного хеджирования финансового инструмента Х0t при помощи этого портфеля необходимо так выбрать коэффициенты α и β, чтобы дисперсия ряда, стоящего в правой части выражения (3) была наименьшей. Такие значения коэффициентов α и β соответствуют решению следующей оптимизационной задачи:
(5)
σ2 () – дисперсия соответствующего процесса,
ρ – коэффициент корреляции между Vt и Wt.
Эта задача будет иметь два следующих решения:
Соответствующие значения целевой функции имеют вид:
В случае более двух коинтеграционных соотношений:
Х0t + A11X11t + … + A1mX1mt = V1t
…………………………………………….
Х0t + An1Xn1t + … + AnmXnmt = Vnt
где Х0t — хеджируемый финансовый инструмент,
X11t,…,X1mt, …, Xnmt — вспомогательные финансовые инструменты,
A11,…, A1m,…, Anm — коэффициенты коинтеграционных соотношений,
V1t и Vnt — стационарные ряды.
Задача, аналогичная (5), примет вид:
(6)
где α1, …, αn – коэффициенты при стационарных рядах V1t, …, Vnt
σ2i, i = 1…n – дисперсия временного ряда Vit , i = 1…n
Covij, i,j = 1…n – ковариация между временными рядами Vit , i = 1…n и Vjt , j = 1…n.
Решение этой задачи в явном виде пока что не найдено, поэтому для практических расчётов целесообразно использовать численные методы решения.
Следует отметить, что при проведении практических расчётов в случае, например, двух коинтегрированных соотношений (1) и (2) необходимо также оценить коинтеграционное соотношение, содержащее все финансовые инструменты:
Х0t + С1Х1t + … + СnХnt + Сn+1Y1t + … + Сn+mYmt = Zt (7)
где С1, …, Сn+m — коэффициенты коинтеграционного соотношения,
Zt — стационарный ряд.
Если коинтеграционное соотношение (7) статистически значимо, что весьма вероятно при значимых соотношениях (1) и (2), то наименьшую дисперсию, полученную из задачи (5), следует сравнить с дисперсией ряда Zt.
Метод получения модельной информации из посекундной (тиковой) статистики изменения валютных курсов (также может использоваться и для других финансовых инструментов). Обычно для исследования динамики финансовых инструментов используется статистика приростов их цен. Из работ, посвящённых изучению финансовых крахов, известно, что использование статистических данных именно такого типа накладывает довольно сильные ограничения на выводы, которые можно получить на их основе. В частности, вероятности падения рынка оказываются сильно заниженными, если их рассчитывать исходя из статистики прироста цен. Для получения более реалистичных оценок используют статистику просадок, каждая из которых представляет собой сумму подряд идущих приростов одного знака.
Этот пример иллюстрирует важность задачи получения адекватной модельной информации из «сырой» статистики финансовых рынков. Предлагается к рассмотрению следующий метод. Задавшись пороговым значением Т (например, 15 сек.), динамику любого валютного курса можно разбить на два типа чередующихся периодов: периоды подряд идущих цен, каждая из которых держалась не дольше Т, назовём их «быстрыми» периодами, и периоды подряд идущих цен, каждая из которых держалась дольше Т, назовём их «медленные» периоды. По аналогии со статистикой дневных, часовых, минутных, и других приростов цен можно исследовать статистики «быстрых» и «медленных» приростов, т.е. приростов цен, имевших место соответственно за «быстрые» и «медленные» периоды. Проведённое исследование показало, что существуют принципиальные различия между «быстрыми» и «медленными» периодами. Показано, что пороговое значение Т можно подобрать таким образом, что различия получившихся с его помощью «быстрых» и «медленных» периодов будут особенно яркими и устойчивыми к изменениям порогового значения Т в определённом диапазоне. Обнаружены следующие отличия «быстрых» приростов от «медленных»: 1) «быстрые» приросты, усреднённые за неделю, в отличие от «медленных», коррелируют с недельными приростами; 2) дисперсия «быстрых» приростов в большинстве случаев существенно больше дисперсии «медленных» приростов, а типичные значения «быстрых» приростов сильно зависят от текущих экономических тенденций, тогда как для «медленных» приростов такая зависимость не характерна.
Выявленная и подтверждённая статистическим анализом связь между недельными и «быстрыми» приростами позволяет использовать в качестве модельной информации цены закрытия последних за, например, час «быстрых» периодов вместо обычных почасовых цен закрытия. Сравнение статистической значимости коинтеграционных соотношений, оценённых по такой модельной информации и по ценам закрытия, показало, что в последнем случае статистическая значимость коинтеграционных соотношений существенно меньше. Это отличие позволяет рекомендовать к использованию при оценке коинтеграционных соотношений именно модельную информацию.
(c) BE in trend
По материалам: Соколов П.И. «Эффективное хеджирование на основе эконометрической оценки взаимосвязи валютных курсов»