В данной статье при помощи средств Ecxel создается оптимальный по Г. Марковицу портфель для акций российского фондового рынка.
{module 297}
Портфель — это совокупность финансовых активов, объединенных вместе для реализации целей инвестора, для максимизации прибыли и минимизации убытков.В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели, портфели без коротких позиций(без продаж), то есть портфель состоящий только из купленных акций.
Отсюда первое ограничение, которое накладывается на портфель, это положительные доли всех ценных бумаг (хi).
(1)
Второе ограничение состоит в том, что сумма всех долей ценных бумаг должна составлять 1, это правило нормировки долей. Формула 2 показывает это ограничение.
(2)
Так же доходность портфеля будет выглядеть как сумма доходностей отдельных акций с выбранными весовыми коэффициентами. Так как каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, то необходимо будет максимизировать эту целевую функцию. В итоге это будет выглядеть в виде формулы 3.
(3)
Помимо доходности инвестору необходимо так же учесть и риск, связанный с той или иной акцией. Риск по Г. Марковицу выражается в виде среднеквадратического отклонения δi каждой акции. Значение δр — это уровень приемлемого риска для инвестора. Помимо учета средне квадратического отклонения отдельных акций необходимо учесть корреляцию между доходностями акций — rij . Корреляция в нашем случае для модели Марковица равняется нулю. В итоге риск всего портфеля представлен формулой 4.
(4)
Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля акций максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δр , и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид (5):
(5)
{module 297}
Обратная задача оптимизации портфеля сводится к выбору такой структуры портфеля, доходность которого выше либо равна заданному значению mp, а риск минимален. Экономико-математическая модель задачи в этом случае примет вид(6):
(6)
Пример составления портфеля Марковица для российского фондового рынка
Для примера возьмем акции 4-х российских компаний Газпром (GAZP), Дальсвязь(DLSV), Сургутнефтегаз (SNGS) и Роснефть (ROSN). Построим на основе котировок оптимальный портфель. Для нахождения оптимального портфеля по Марковицу воспользуемся средствами Excel и компонентой Solver(Поиск решений).
Для начала рассчитаем дневную доходность по каждой акции за один год с 20.05.2009 по 20.05.2010.
Формула расчета дневной доходности (mj) представлена (7): ;
(7)
Где: Рj — цена акции на конец текущего дня;
Рj-1 — цена акции за предыдущий день.
В итоге должна получится следующая таблица дневных доходностей каждой из акций:
Что бы рассчитать доходность для каждой акции необходимо найти среднюю доходность акции за выбранный период, в данном случае 1 год.
(8)
Посчитав, среднедневная доходность за весь период составила для GAZP = -0,02%, DLSV =0,28%, SNGS =0,05% и ROSN= 0,08%. Так как средняя доходность Газпрома отрицательная то эта акция не будет включена в портфель. Помимо доходности необходимо рассчитать риск этих акций, для этого рассчитаем среднеквадратическое отклонение дневных доходностей акций по формуле (9).
(9)
Для Дальсвязи (DLSV) δ1 =1,73% , Сургут нефтегаза (SNGS) δ2 = 1,98% и Роснефти (ROSN) δ3 = 2,05%. Составим уравнение для нахождения оптимального портфеля. Так же зададим допустимый максимальный уровень риска в 0,15%.
(10)
Полученные данные занесем в таблицу для расчетов долей (xi) каждой акции в портфеле. Осталось решить полученное уравнение и рассчитать доли каждой акции, для этого воспользуемся встроенным в пакет Excel надстройки «Поиск решений».
После запуска надстройки «Поиск решений» установим целевую функцию, это доходность всего портфеля. После этого поставим флажок на максимизации значения этой целевой функции. Ячейки для изменения будут соответствовать доли акций, которые необходимо найти. Так же необходимо наложить ограничения на то что бы сумма всех долей была равна 1, и что бы каждая доля была не отрицательна и общий риск портфеля был бы меньше 0,15%.
В ячейке с общим риском (D7) прописывается следующая формула:
=КОРЕНЬ(0,0301*D2*D2+0,0393*D3*D3+0,0421*D4*D4)
Целевая функция в ячейке (F3) равняется:
=D2*B2+D3*B3+D4*B4
В ячейке (D6) прописывается ограничение для портфеля:
=СУММ(D2:D4)
После проделанной работы определятся доли в инвестиционном портфеле для каждой акции.
Расчет оптимального портфеля по Г. Марковицу представлен на рисунке ниже. Оптимальный портфель будет состоять из 85,38% акций Дальсвязи (DLSV), 3,66% акций Сургутнефтегаза (SNGS) и 10,96% акций Роснефти (ROSN). Доходность всего портфеля будет составлять 0,24% при общем установленном заранее риске портфеля в 0,15%.
{module 297}
Автор: Жданов Иван www.beintrend.ru