Формирование инвестиционного портфеля на основе модели «Квази-Шарпа» в Excel

Модели формирования инвестиционного портфеля, такие как модель Г.Марковица и У.Шарпа (Capital Asset Price Model) хорошо работают в периоды стабильного роста национальной экономики.

Как правило, это замечание относится для зарубежных фондовых рынков, для которых характерна более монотонная динамика развития. Применение моделей Марковица и Шарпа для развивающихся рынков, в частности для фондового рынка Российской Федерации и рынка других стран СНГ, приводит к модельным ошибкам и непредсказуемым убыткам по портфелю. Это связано, прежде всего, с динамикой и особенностями развития этих рынков, для которых свойственно нестабильность и  импульсивность доходности, сильное влияние инсайдерской (внутренней) информации, несовершенство нормативно-правовой базы, доминирующее влияние сырьевых отраслей на общую динамику развития.

Для эффективной работы на нестабильных фондовых рынках была предложена новая модель формирования инвестиционного портфеля, которая получила название модель «Квази- Шарпа». Эта модель основана на взаимосвязи доходности каждой ценной бумаги из всего множества N ценных бумаг с доходностью единичного портфеля их этих бумаг. В общих чертах модель «Квази- Шарпа» сильно походит на модель предложенную У.Шарпом, но есть некоторые отличия. Рассмотрим основные допущения модели «Квази- Шарпа»:

1. Доходность ценной бумаги рассчитывается как математическое ожидание доходностей. Это допущение есть и в модели Шарпа.
2. Единичный портфель представляет собой портфель, состоящий из всех рассматриваемых ценных бумаг, взятых в одинаковой пропорции. В модели Шарпа за эталонный портфель(бенчмарк) берется так называемый рыночный портфель, динамику которого часто описывает фондовый индекс. Для российского фондового рынка это индекс РТС (RTSI), для украинского рынка индекс ПФТС, для американского фондового рынка это S&P500.
3. Доходность ценной бумаги прямо пропорционально доходности единичного портфеля. То же предположение в модели Шарпа для рыночного портфеля.
4. Риск ценной бумаги рассчитывается как чувствительность изменения доходности ценной бумаги от изменения доходности единичного портфеля. Аналогично для модели Шарпа.
5. В отличии от модели Шарпа за безрисковую ставку берется средняя доходность единичного портфеля, а не государственные обязательства.

Модель «Квази — Шарпа» соединяет доходность ценной бумаги с доходностью единичного портфеля и риском этой ценной бумаги с помощью функции линейной регрессии. Формула доходности ценной бумаги следующая:

R_i— доходность ценной бумаги;
R_sp— доходность единичного портфеля;
β_i— коэффициент чувствительности к изменению доходности ценной бумаги, коэффициент регрессии в уравнении доходности;
–средняя доходность ценной бумаги;
– средняя доходность единичного портфеля.

Необходимо сказать несколько слов об измерении риска в данной модели. Риск измеряется с помощью коэффициента бета (β), который характеризуется степенью чувствительности к изменению доходности единичного портфеля. Чем выше коэффициент бета, тем сильнее изменяется доходность ценной бумаги от колебания доходности единичного портфеля.

В модели «Квази-Шарпа » риск ценной бумаги представляет собой совокупность коэффициента бета и остаточного риска (σri). Остаточным риском называют степень разброса значений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. 
Доходность в модели «Квази — Шарпа» рассчитывается как:

Риск же рассчитывается по следующей формуле:

Задача формирования оптимального портфеля по модели «Квази-Шарпа», где мы максимизируем доходность инвестиционного портфеля и устанавливаем допустимый уровень риска, будет выглядеть следующим образом.

Обратная задача формирования оптимального портфеля, ге мы минимизируем общий риск инвестиционного портфеля с фиксированным уровнем доходности, имеет следующий вид:

Давайте на конкретном примере рассмотрим применение модели «Квази — Шарпа» для российского фондового рынка. Данные по котировкам возьмем с сайта finam.ru. За последний год возьмем котировки таких крупных компаний как Газпром (GAZP), Аэрофлот (AFLT), Якутэнерго (YKEN), Сбербанк (SBER), Лукойл (LKOH) и ГМК Норникель (GMKN). Мы сразу отбросим из рассмотрения акции Газпрома, так как за прошедший год они показали отрицательную прибыль. И так, занесем все данные в таблицу Excel. На рисунке ниже показаны месячные данные по стоимости акций этих компаний с 10.10.2009 по 10.10.2010.

Следующим этапом рассчитаем доходности этих акций по следующей формуле:

Где:
R_i— текущая доходность акции;
P_i— текущая стоимость акции;
P_i-1 – стоимость акции в предыдущем периоде.

Формула в Excel будет выглядеть следующим образом:
=(A3-A2)/A2

И аналогично рассчитываем доходности всех акций. На рисунке ниже показан расчет доходности по акциям. Каждый столбец представляет месячные доходности каждой акции.
Следующим этапом, для каждой акции рассчитаем среднее значение доходности за весь год, то есть за все временные отрезки. Формула для расчета следующая:

Где:
R_it— доходность i-ой акции за период t;
T- рассматриваемое количество временных периодов (в нашем случае 12).
Формула расчета в Excel средней доходности (AFLT) следующая:
=СРЗНАЧ(F3:F13)

Аналогично рассчитываются остальные доходности акций.

Далее рассчитаем доходность единичного портфеля.
Сделав необходимые расчеты, рассчитаем доходности единичного портфеля и его среднюю доходность за все периоды. Доходность единично портфеля представляет собой доходность портфеля составленного из используемых акций, взятых в равных пропорциях.  Доходность единичного портфеля рассчитывается следующим образом:

Где:
–доходность единичного портфеля;
— доходность i-ой ценной бумаги за период t.
Средняя доходность единичного портфеля за все периоды рассчитывается так:

Где:
– средняя доходность единичного портфеля;
Т —  рассматриваемое количество временных периодов;
– доходность единичного портфеля.
В Excel расчет доходностей единичного портфеля (ЕП)будет выглядеть следующим образом:
=СРЗНАЧ(F3:J3)  — для расчета доходности ЕП;
=СРЗНАЧ(K2:K13) – для расчет средней доходности ЕП.

Далее рассчитаем чувствительность изменения доходности акции от изменения доходности единичного портфеля. Чувствительность показывает коэффициент бета (β). И формула его вычисления следующая:

Для упрощения расчета  посчитаем сначала знаменатель коэффициента бета, он для всех акций будет одинаков, а  после числитель.
Столбец знаменателя (L) рассчитывается по формуле:
=СТЕПЕНЬ((K3-$K$15);2)

И в ячейке L14 происходит расчет непосредственно знаменателя по формуле:
=СУММ(L3:L13)
Для вычисления числителя по периодам коэффициента бета сначала воспользуемся формулой.
=(F3-$F$14)*(K3-$K$15) (Для акций Аэрофлота, колонка М)

Аналогично для других акций.
Суммируем полученные результаты за все периоды, то есть непосредственно рассчитываем числителя. Расчеты находятся в ячейках L14-Q14 по формулам:
=СУММ(L3:L13)

Коэффициент бета (β) будет рассчитан как отношение числителей к знаменателю.
=M14/$L$14

Следующим этапом рассчитаем остаточный риск, который представляет собой степень разброса доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Формула расчета остаточного риска следующая:

В Excel формула будет следующая:
Сначала рассчитываем остаточный риск на каждый период:
=СТЕПЕНЬ((F3-$F$14-$M$15*M3);2)

После рассчитываем остаточный риск за все периоды (R14-V14):
=СРЗНАЧ(R3:R13)

При формировании инвестиционного портфеля из этих акций нам еще потребуется рассчитать риск единичного портфеля:

Риск единично портфеля равен (U15):
=КОРЕНЬ(L14/12)

И так, давайте обобщим все полученные данные в таблицу.

Для расчета долей в инвестиционном портфеле воспользуемся надстройкой Excel «Поиск решений» или в английском варианте «Solver».

Расчет долей в инвестиционном портфеле на основе модели «Квази — Шарпа»
Дополнительные примеры работы с надстройкой «Поиск решений» приведены в статьях:

Построение портфеля Г.Марковица для российского фондового рынка.

Составление портфеля Дж. Тобина для российского фондового рынка.

Пример построения модели CAPM приведен в статье:
Построение модели CAPM для российского фондового рынка.

Создадим новый рабочий лист в Excel и построим следующую таблицу. Используя поиск решений нам необходимо найти доли акций в новом инвестиционном портфеле. На рисунке, они помечены синей колонкой. Перед нами стоит прямая задача максимизации доходность инвестиционного портфеля с ограничением на риск. Максимальный риск установим на отметке 5%. Заполним дополнительные столбцы для расчета доходности и риска.

R*W= B2*G2 – произведение средней доходности и весов;
β*W=G2*C2 – произведение бета акции и веса;
(β*W)^2=I2*I2 – квадрат произведения;
σ^2*W^2=D2*D2*G2*G2 – произведение квадратов;
СУММА W =СУММ(G2:G6) –сумма весов портфеля.

Формула расчета целевой ячейки с доходностью портфеля (C9) будет следующая.
=СУММ(B2*G2;B3*G3;B4*G4;B5*G5;G6*B6)+F4*СУММ(C2*G2;C3*G3;C4*G4;C5*G5;C6*G6)

Формула расчета риска инвестиционного портфеля:
=КОРЕНЬ(J7*E4*E4+K7)

Для нахождения оптимальной структуры портфеля загрузим надстройку «Поиск решений». Выберем целевую функция – ячейку с доходностью (С9). Ее мы будем максимизировать. Для этого будем изменять доли акций в портфеле – диапазон ячеек C2:G6. Необходимо так же наложить ограничения на риск и веса акций. Веса должны быть положительны, сумма их должна не превышать единицы и риск рассчитанный в ячейке С10 должен быть меньше 5%.

В итоге мы получаем расчет долей акций в нашем инвестиционном портфеле. В итоге мы получили следующее соотношений весов акций в портфеле. Доля акций Аэрофлота (AFLT) составляет 37.7%, доля акций Якутэнерго (YKEN) составляет 40.5%, доля акций Сбербанка (SBER) 1.3%, доля акций Лукойла (LKOH) 0% и доля акций ГМКНорНикель (GMKN) 20.5%.

И так проведем качественное сравнение трех моделей формирования инвестиционного портфеля: модель Г.Марковица, модель У.Шарпа (CAPM) и модель «Квази — Шарпа».

Модель Марковица рационально использовать на стабильных рынках с повышающей доходностью, когда портфель формируется из акций, принадлежащих различным отраслям. Недостаток этой модели — это оценка доходности как среднеарифметическое доходностей за предыдущие периоды.

Модель У. Шарпа применяется для рассмотрения большого количества ценных бумаг, охватывающих большую часть фондового рынка. Недостаток этой модели – это необходимость прогнозирования доходности фондового рынка и безрисковую ставку доходности.

Модель «Квази- Шарпа » рационально использовать при рассмотрении небольшого числа ценных бумаг, принадлежащих одной или нескольким отраслям. С помощью этой модели хорошо поддерживать оптимальную структуру уже созданного инвестиционного портфеля. Недостатком этой модели можно считать не учет глобальных тенденций, которые влияют на доходность портфеля.

Автор: Жданов Иван
© BE in trend