История развития управления капиталом (money management)

Для спекулятивных инвесторов существует два направления оптимизации своей торговой стратегии.Первая и самая важная задача трейдера состоит в достижении положительной ожидаемой скорректированной на риск доходности (отношение величины полученного от инвестиционного актива дохода к какой-либо статистической характеристике риска, например, к среднеквадратичному отклонению величины дохода; может оцениваться с помощью коэффициента Шарпа). Как только эта цель достигнута, трейдер должен уметь определять, каким процентом от своего капитала он может рисковать в каждой сделке (определение размера позиции).

Основные принципы управления капиталом (money management) применяются как в азартных играх, так и в торговле, и первоначально были разработаны именно для игр.

Хронология развития идей по управлению капиталом (money management):

• В научной статье по оценке риска, которая подтолкнула к развитию «теорию ожидаемой полезности», Бернулли (1738) предположил, что людям присуща логарифмическая функция полезности. Он отметил, что вследствие этого, когда прибыль не изымается, а снова реинвестируется, для оценки степени рискованности сделки (совокупности проектов) необходимо определить среднее геометрическое значение от вероятности каждого возможного исхода сделки (степени риска каждого из проекта) в отдельности. Этот труд Бернулли был переведен на английский язык в 1954 году.
• В статье «Спекуляции и арбитраж», описывающей торговлю хлопком, Уильямс (1936) утверждает, что спекулянт должен сделать ставку на представительную (репрезентативную) цену в будущем, и указывает, что если прибыли и убытки трейдеров реинвестируются на рынке, методом расчета такой цены будет вычисление геометрического среднего из всех возможных оценок при данных условиях (вероятности каждого значения цены в будущем, например, 20%, что цена будет иметь значение x, 30%, что цена будет иметь значение y, 50%, что цена будет иметь значение z после определенного периода времени).
• В 1944 году математик Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенштерн опубликовали «Теорию игр и экономического поведения» (Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн, 1944). Сейчас это классическая книга, на ней базируется современная теория игр. Была описана функция полезности фон Неймана-Моргенштерна (наиболее известная функция ожидаемой полезности; представляет собой математическое ожидание полезности набора благ с заданным распределением вероятностей; это означает, что полезность является линейной по вероятности (вероятностному распределению).
• В 1948 году Клод Шеннон опубликовал статью «Математическая теория передачи информации» в двух частях (Шеннон, 1948). Этот труд явился основой дисциплины теории информации и стал классикой. Так, Клод Шеннон разработал понятия информационной энтропии (мера неопределённости состояния или поведения системы в данных условиях, мера неопределённости источника сообщений, определяемая вероятностями появления тех или иных символов при их передаче) и избыточности информации. Шеннон утверждал, что код из двоичных цифр (сигналов) может быть передан через канал с помехами с очень малой вероятностью ошибки, если двоичный сигнал был должным образом закодирован и затем раскодирован.
• В 1956 году Ларри Джон Келли-младший ученый, работавший в Bell Labs, свёл вместе теорию игр и теорию информации, опубликовав работу «Новая интерпретация скорости передачи информации» (Келли 1956) (первоначальное название было «Теория информации и азартные игры», но Келли изменил его для усмирения своего работодателя). Он показал, что в целях достижения максимального роста благосостояния, при осуществлении каждой своей ставки игрок должен максимизировать ожидаемое значение логарифма своего общего капитала, потому что именно логарифм проявляет аддитивное (добавочное) свойство при повторяющихся ставках и для него применяется закон больших чисел. При этом вводятся предположения, что капитал игрока делим до бесконечности и вся прибыль реинвестируется снова в рынок. Таким образом, считается, что системы управления капиталом, которые максимизируют ожидаемую оценку капитала, используют критерий Келли (см. также «Использование критерия Дж.Келли для определения размера оптимаьной сделки»). Такая система имеет сложности того, что для её корректной работы требуется правильная оценки вероятностей исходов.
• Беллман и Калаба (1957) рассмотрели роль динамического программирования в статистической теории передачи информации, обобщив и расширив результаты Ларри Джона Келли 1956 года.
• Первым применил критерий Келли в экономическом контексте Латане (1959). Он показал, что инвесторам следует максимизировать среднее геометрическое вероятностей оценки элементов своего инвестиционного портфеля.
• Бриман (Breiman) (1961) доказал, что использование критерия Келли является асимптотически оптимальным по двум критериям: (1) минимальное ожидаемое время для достижения заданного фиксированного объема ресурсов, и (2) максимальный темп роста благосостояния. Но результаты будут точными только при условии непрерывного времени.
• В 1962 году Эдвард О. Торп (Edward O. Thorp), американский профессор математики, автор и игрок в блэкджек («двадцать одно», «очко»), написал работу «Крупье» (Торп, 1962), которая стала классикой в своём роде и была первой книгой, математически доказывающей, что блэкджек может быть выигран с помощью подсчета карт.
• Торп и Уолден (1966) разработали выигрышную стратегию для определения направления ставок в игре Невада-Баккара (азартная игра для троих или двоих наподобие «девятки») и использовали при этом критерий Келли для определения размера ставки.
• Торп (1969) сделал вывод, что критерий Келли должен заменить критерий Марковица (Марковиц, 1959) в качестве руководства к отбору элементов портфеля.
• Хаканссон (Hakansson) (1970) рассмотрел оптимальные стратегии инвестирования и расходов в условиях риска для одного класса функций полезности, а также предложил необходимые и достаточные условия для долгосрочного роста капитала.
• Раднер (Radner) (1971) был первым, кто использовал сбалансированные инвестиционные стратегии в рамках стохастического обобщения модели экономического роста фон Неймана.
• Торп (1971) показал применимость критерия Келли для выбора элементов портфеля.
• Самуэльсон (Samuelson) (1971) показал, что стратегия максимизации среднего геометрического значения доходности не является строго оптимальной для любого конечного числа периодов, однако в бесконечной временной перспективе она является асимптотически хорошим приближением к оптимальной стратегии управления капиталом.
• Голдман (Goldman) (1974) показал, что политика максимизации ожидаемого логарифма предельной доходности применительно к ограниченной полезности, даже когда временной горизонт является долгосрочным, не всегда является оптимальной.
• Мертон и Самуэльсон (1974) обнаружили противоречия в логарифмически нормальной аппроксимации для оптимального принятия решений по управлению портфелем в течение длительного периода времени.
• Миллер (1975) показал, что, когда временной горизонт инвестирования бесконечен, инвестиционная политика максимизации ожидаемого логарифма доходности портфеля для каждого периода является оптимальной, если функция полезности зависит только от конечного значения последовательности, представляющей значение стоимости портфеля в конце каждого периода управления.
• Краус (Kraus) и Литценбергер (Litzenberger) (1975) разработали конкурентоспособную модель экономического равновесия рынка, отражающую гетерогенные (разнородные) мнения его участников. Они предположили, что каждый инвестор максимизирует ожидаемую логарифмическую будущую доходность своего капитала, отбирая поэтапно инструменты по достижению запланированной цели, ограниченной только исходным значением капитала инвестора.
• Фридман (Friedman) (1976) представил доклад «Понимание и применение критерия Келли» на третьей конференции в Лас-Вегасе, Невада по азартным играм и рискам в декабре 1976 года.
• Марковиц (1976) утверждает, что формализация последовательности игровой ситуации и критерий максимизации ожидаемого логарифма доходности портфеля, определяющий асимптотическую оптимальность управления, принятые Мертоном и Самуэльсоном (1974) и Голдманом (1974) является неприемлемым, поскольку это нарушает представление о том, что только при стандартизованной форме игры необходимо производить сравнение стратегий.

Критерием Марковица при формировании инвестиционного портфеля является соотношение доходность-риск (эффективность управления портфелем) в отличие от критерия Келли, определяющего темп роста капитала, с учетом реинвестирования доходов. Вследствие эффекта реинвестирования управление капиталом по системе Келли может давать очень серьёзные просадки при неблагоприятном стечении обстоятельств. (См. в разделе «Примеры» сравнение осуществления ставок на скачках Кентукки по критерию Келли и по критерию Келли, но где ставка уменьшена вдвое (Half-Kelly). График для системы по Half-Kelly показывает меньшую величину просадки)

• Экономисты скептически смотрят на систему управления капиталом Келли. В качестве одной из заметных атак на систему Келли можно выделить статью Самуэльсона (1979), которая была опубликована в журнале банковского дела и финансов (Journal of Banking & Finance), где он писал: «Почему нам не следует делать значение среднего ожидаемого логарифма доходности портфеля большим, если мы действуем (торгуем) в течение долгого периода времени». Он имел ввиду, что когда вы проигрываете (а вы определённо можете проигрывать) в случае довольно длинной неудачной проигрышной полосы вы можете потерять действительно очень много.
• Белл (Bell) и Ковер (Cover) (1980) использовали теоретико-игровую модель рынка и рассмотрели игру с 2-мя игроками, 1-м ходом для каждого игрока, с постоянной суммой, игру, в которой цель каждого инвестора состоит в максимизации вероятности превосходства над соперником. Они обнаружили, что инвестор, использующий систему управления капиталом Келли, имеет, по крайней мере, 50% вероятность опередить любого другого игрока даже после одной попытки.
• Торп (1980) опубликовал статью «Система управления капиталом Келли» в Gambling Times, в которой подробно детализировал формулу Келли.
• Финкельштейн (Finkelstein) и Уитли (Whitley) (1981) расширили результаты Келли и Бримана и показали, что инвестор, работающий по критерию Келли, никогда не показывает результаты хуже, чем любой другой игрок, в среднем после какого-либо фиксированного количества ставок.
• Вонг (Wong) (1981) показал, что при использовании оптимальной пропорциональной ставки при игре в блэкджек ожидаемый выигрыш, разделенный на размер ставки, составляет половину ожидаемого арифметического среднего выигрыша.
• Гемм (Gehm) (1983) пишет «Управление капиталом на товарных рынках» (Commodity Market Money Management), которое включает в себя применённый Торпом критерий Келли (Торп, 1980).
• Этьер (Ethier) и Таваре (Tavare) (1983) показали, что отношение прибыли на инвестированный капитал при условии оптимальных пропорциональных размеров ставок к прибыли на инвестированный капитал при условии постоянных размеров ставок сходится к экспоненциальному распределению со средним значением 1/2, поэтому преимущество сводится на нет в бесконечной перспективе.
• Гриффин (Griffin) (1984) рассмотрел различные меры для темпов увеличения капитала при осуществлении оптимальных пропорциональных ставок.
• В книге о ставках на лошадиные скачки, Зимба (Ziemba) и Хауш (Hausch) (1985) показали, что при длительных последовательностях ставок ожидаемый рост капитала инвестора, работающего по системе Келли, значительно превышает рост капитала при альтернативных инвестиционных стратегиях.
• Пестиен (Pestien) и Саддерт (Sudderth) (1985) продемонстрировали, как контролировать отклонения (рассеивания) от намеченной инвестиционной цели в условиях непрерывного времени.
• Хит (Heath) и др. (1987) показали в непрерывном времени, что если трейдер управляет портфелем акций, облигаций и валюты и хотел бы свести к минимуму ожидаемое время достижения заданной оценки стоимости этого портфеля, то стратегия Келли является оптимальной.
• Зимба (1987) смоделировал 1000 сезонов по 700 ставок на скачки и показал, что стратегия пропорциональных ставок по формуле Келли была выигрышнее любой другой стратегии осуществления ставок.
• Альгоет (Algoet) и Ковер (1988) доказали, что максимизация условно ожидаемого логарифма доходности портфеля, дающая текущую пригодную информацию на каждом этапе управления, является асимптотически оптимальным управлением, без ограничений на вероятностное распределение процесса, происходящего на рынке.
• Этьер (1988) опубликовал «Успех для игрока, делающего пропорциональные ставки» и показал, что с точки зрения безопасности, оптимальной политикой зачастую будет являться сохранение всего своего капитала в относительно безрисковых активах.
• Ральф Винс (Ralph Vince) написал книгу «Формулы портфельного менеджмента» (Винс, 1990), в которой он популяризовал и расширил формулы Келли под видом метода определения размера позиции, который он назвал «оптимальное F».
• Томас Ковер и Джой Томас (Thomas) публикуют «Элементы теории информации», которые содержат главы на темы «Риски и сжатие данных» и «Теория информации и фондовый рынок» (Ковер и Томас, 1991).
• Винс (1992) пишет книгу «Математика управления капиталом», в которой он соединяет своё «оптимальное F» (касающееся размера позиции) с оптимальным портфельным менеджментом.
• МакЛин (MacLean), Зимба и Блазенко (Blazenko) (1992) рассмотрели вопрос, как инвестор может найти компромисс между максимальным ростом доходности (т.е. с использованием критерия Келли) и максимальной безопасностью (т.е. минимизации просадки drawdowns).
• Ротандо (Rotando) и Торп (1992) применили стратегию Келли к долгосрочным инвестициям на рынке акций S&P 500, а также показали некоторые преимущества и подверженности помехам для этой стратегии.
• Аукамп (Aucamp) (1993) предоставил как теорию, так и доказательство того, что «долгосрочность» инвестиций, требующаяся для того, чтобы стратегия достижения максимума среднего геометрического доходности была оптимальной, может быть действительно очень долгой в ситуациях повышенного риска, но при этом может «практически» доминировать в умеренном (не бесконечно большом) количестве игр, когда уровень риска невелик.
• Винс (1995) опубликовал свою третью книгу по управлению капиталом, к которой детально проработал и конкретизировал своё «оптимальное F» и описал новую модель формирования портфеля.
• Хаканссон и Зимба (1995) сделали обозрение теории роста капитала, в частности, инвестиционной стратегии, оптимальной по росту (критерий Келли).
• Браун (Browne) и Уитт (Whitt) (1996) рассмотрели Байесовскую версию для азартных игр и инвестиционных задач, где лежащий в основе случайный процесс имеет значения параметров, которые являются ненаблюдаемыми случайными переменными, а также получили обобщение критерия Келли.
• Торп (1997) представил работу, в которой рассматривается вопрос об использовании критерия Келли в блэкджеке, в спортивных ставках и на фондовом рынке.
• Четинкая (Cetinkaya) и Парлар (Parlar) (1997) представили критику предположения о простом логарифмическом виде полезности предельной доходности и решили проблему с более общей функцией полезности. Они показали, что в общем случае можно осуществлять оптимальное управление.
• Каратзас (Karatzas) и Шрив (Shreve) (1998) опубликовали «Методы финансовой математики», включившие в себя раздел о максимизации темпов роста благосостояния.
• Аурелл (Aurell) и др. (2000) использовали теорию Келли применительно к ценам производных инструментов (деривативов) на несовершенных рынках.
• Аурелл and Мураторе-Гинаннеши (Muratore-Ginanneschi) (2000) изучили долгосрочные стратегии оптимального роста на простом рынке, учитывающем операционные издержки. При бесконечном временном горизонте инвестирования оптимальная стратегия состоит в возможности свободного колебания суммы (оценки стоимости) капитала, вложенного в акции, в заданном интервале около значения оптимального инвестирования при отсутствии торговых издержек.
• Браун (2000) проанализировал некоторые свойства стратегии Келли для краткосрочной временной перспективы.
• Хей (Haigh) (2000) истолковал стратегии Келли в контексте торговли на спредах (разнице между курсами покупки и продажи).
• Евстигнеев (Evstigneev) и Шенк-Хоппе (Schenk-Hoppe) (2002) доказали, что любая инвестиционная стратегия, предполагающая самофинансирование постоянной доли (пропорции) капитала, дает строго положительную экспоненциальную кривую темпа роста состояния инвестора на финансовом рынке, на котором цены описываются стационарным случайным процессом и соотношения цен являются невырожденными (при условии, что инвестор торгует по крайней мере двумя активами).
• Зимба (2004) в своей статье рассмотрел применение критерия Келли в лотерее.
• Андерсон (Anderson) и Фафф (Faff) (2004) испробовали торговлю с помощью простых и общедоступных торговых правил на пяти фьючерсных рынках и реинвестировали прибыль с помощью методики «оптимального F», описанной Винсом (1990). Они пришли к выводу, что в управлении капиталом при спекулятивной торговле фьючерсами более важную, чем предполагалось ранее, роль играет прибыльность (рентабельность) активов, показав существенные различия в прибыльности трейдеров в зависимости от того, как агрессивно они торговали фьючерсными контрактами.
• Этьер (2004) показал, что система Келли максимизирует среднее значение (медиану) «успеха» игрока.
• Паундстон (Poundstone) (2005) написал работу «Формула фортуны», представляющую собой увлекательное исследование связей между азартными играми, теорией информации, инвестициями на фондовом рынке и прикладной математикой, где система управления капиталом Келли занимала центральное место.
• Петровский (Piotrowski) и Шредер (Schroeder) (2006) объяснили критерий Келли с точки зрения термодинамики.
• Лёбфарс (Leibfarth) (2006) написал упрощённую до абсурда статью по управлению капиталом (money management) в популярном журнале для трейдеров.
• Фабоззи (Fabozzi) и др. (2007) опубликовали работу «Надежная портфельная оптимизация и портфельный менеджмент», как руководство по формированию инвестиционного портфеля с помощью надежной, «здравой» оптимизации.
• Винс (2007) опубликовал «Справочник по портфельной математике», новый материал включает его применение значения просадки стоимости портфеля (drawdown), как одной из меры риска.
• МакДоннелл (McDonnell) (2008) опубликовал «Формирование (моделирование) оптимального портфеля», введение в портфельное моделирование с использованием Excel. Он сочетает логарифмическую функцию полезности (Бернулли, 1738) с использованием логарифмов для максимизации роста благосостояния (Келли, 1956), в результате чего получается итеративная логарифмическая функция вида (1 + log(1 + r)), где r – доходность.
• Мишо (Michaud) (2008) продемонстрировал ограниченность портфельной оптимизации Марковица для модели средней и дисперсии (модель, в которой предпочтения индивидов описываются с помощью всего двух параметров распределения вероятностей его капитала, а именно средневзвешенного значения и дисперсии распределения вероятностей богатства) и использовал метод Монте-Карло для исследования информационной неопределенности.
• Жданов И. (2009) предложил методики управления капиталом на основе подходов, использующих принципы торговых стратегий и различных индикаторов (в частности, управление капиталом с помощью скользящих средних, управление капиталом с помощью MACD, управление капиталом с помощью каналов и т.д.). Эти методики весьма эффективно работают в сочетании с успешной торговой системой трейдера, способствуя увеличению общей доходности капитала.

Примеры:

Рассмотрим пример использования критерия Келли. Так как формула указывает на то, чтобы инвестор стремился максимизировать среднее геометрическое стоимости своего капитала, то акциям А, указанным в таблице ниже, следует отдать предпочтение.

Возвращаясь к корням возникновения управления капиталом — к азартным играм, рассмотрим рисунок 1. Рисунок показывает, как применение системы управления капиталом Келли при осуществлении ставок на скачки, может быть полезно для достижения цели роста капитала.

Рисунок 1: История уровня капитала (wealth) при осуществлении ставок на скачках Кентукки в 1934-1998 годах (year). Первоначальный капитал $ 2500. Ставки делались на фаворита скачек. Размер ставки определялся: а) по критерию Келли (Kelly), б) по критерию Келли, но ставка уменьшена вдвое (Half-Kelly), в) постоянная ставка $ 200 (200 Flat). Источник: Бэйн, Хауш и Зимба (2006)

© BE in trend

С использованием материалов работы Мартина Сьюэлла