Эволюция мер риска инвестиционного портфеля. Современные модификации меры риска VaR (Value at Risk)

До 60-х годов двадцатого века не существовало адекватной меры риска. Вся  деятельность инвестиционных фондов заключалась в отыскании наиболее доходных акций и компаний, демонстрирующих высокий уровень доходности. Риск же этих компаний никак не рассматривался.

В 1952 году выходит научная работа Г. Марковица, где он предлагает брать за меру риска стандартное отклонение, которое показывает среднее отклонение доходностей от среднего значения. Чем больше разброс доходностей относительно среднего, тем более рискованна акция. В настоящее время стандартное отклонение часто называют таким понятием как volatility (волатильность), что в переводе означает изменчивость.

Но если проанализировать разброс доходностей, то можно сделать вывод, что разброс доходностей выше  среднего значения не является риском, он наоборот положителен для портфельного управляющего, так как это прибыль, а не убытки. Непосредственно риском является отклонения ниже средней доходности. Поэтому более адекватно использовать для оценки риска не стандартное отклонение, а полудисперсию.

Где:
r_i – доходность портфеля;
r_f – определенный уровень доходности.

Ни стандартное отклонение, ни полудисперсия не могли учесть «тяжелых хвостов» и асимметрии распределения доходностей портфеля.
В 80-х годах двадцатого столетия была предложена новая мера риска VaR (Value at Risk) и подразумевала возможнее убытки инвестиционного портфеля с определенной вероятностью за выбранный временной горизонт. Формула расчета  VaR следующая:

Где:
Р – вероятность;
ξ- граница минимальной доходности;
а- квантиль функции распределения доходности.

Существуют различные методы расчета  VaR – историческое моделирование, параметрический подход и имитационное моделированию по методу Монте — Карло.
Существуют различные модификации VaR одно из них Conditional Value at Risk (CVaR)  представляет собой условное математическое ожидание доходности инвестиционного портфеля при условии, что ее величина меньше значения VaR.  Эта мера риска более адекватно описывает доходности, имеющих тяжелые хвосты. Формула расчета CVaR следующая:

В 2002 году Р.Т. Рокафеллером ,С. Юрязевым и М.Забаранкиным была предложена новая модификация стандартной меры риска VaR и CVaR. Новая модель использовала математическое ожидание доходности (Е(Х)). Формула расчета модифицированной меры риска следующая:

В следующей модификации меры риска VaR и CVaR используются медианы доходностей Ме(Х). Формулы расчета этих мер риска следующие:

В 2009 году Куреленковой Ю.В. были предложены новые комплексные меры риска портфеля, которые получили название Complex Risk Measure или сокращенно CRM.  Эти меры риска объединяли в себе такие меры риска как VaR, CVaR и абсолютное отклонение(MAD, Mean absolute deviation). Формула расчета комплексных мер риска следующая:

Где: β>0.
Формула расчета абсолютного отклонения доходностей следующая:

Где:
n- количество исторических данных о доходностях портфеля;
x_i— доходность портфеля;
m(X) –среднее значение доходности на рассматриваемом историческом диапазоне.

Достоинство комплексных мер риска заключается в том, что они учитывают в себе различные классы квантильных мер риска и мер рассеивания. Это позволяет учесть различные характеристики распределений доходности инвестиционного портфеля.

Автор: Жданов Иван
© BE in trend